ECUACIONES CUADRATICAS

 

       Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado


Las ecuaciones cuadráticas o ecuaciones de segundo grado son aquellas en donde el exponente del término desconocido está elevado al cuadrado, es decir, la incógnita está elevada al exponente 2. Tienen la forma general de un trinomio:

estilo tamaño 14px negrita ax elevado a negrita 2 negrita más negrita bx negrita más negrita c negrita igual negrita 0 fin estilo

donde a, b y c son números reales y se conocen como coeficientes. Así, a es el coeficiente de x2, b es el término o coeficiente de x y c es el término independiente.

Tipos de ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas pueden ser completas o incompletas, dependiendo de si existen los términos dependiente de x (b) o independiente (c).

Ecuaciones completas de segundo grado

Las ecuaciones completas de segundo grado tienen la forma ax2 + bx + c = 0, es decir, todos los términos se encuentran presentes; por ejemplo:

estilo tamaño 14px negrita 2 negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 3 negrita x negrita más negrita 4 negrita igual negrita 0 fin estilo

En este caso a = 2, b = 3 y c = 4.

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 10 negrita x negrita igual negrita menos negrita 20 fin estilo

En este caso a = 1, b = 10 y c = 20, pues el (-20) del lado derecho de la ecuación pasa al lado izquierdo cambiando de signo, así:

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 10 negrita x negrita más negrita 20 negrita igual negrita 0 fin estilo

Ecuaciones incompletas de segundo grado

Cuando no existe el coeficiente de x, es decir, el término b, la ecuación toma la forma:

estilo tamaño 14px negrita ax elevado a negrita 2 negrita más negrita c negrita igual negrita 0 fin estilo

Ejemplos:

estilo tamaño 14px negrita 27 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 9 negrita igual negrita 0 negrita flecha doble derecha negrita a negrita igual negrita 27 negrita coma negrita espacio negrita c negrita igual negrita menos negrita 9 fin estilo

estilo tamaño 14px negrita 12 negrita x elevado a negrita 2 negrita igual negrita menos negrita 6 negrita espacio negrita flecha doble derecha negrita a negrita igual negrita 12 negrita coma negrita espacio negrita c negrita igual negrita 6 fin estilo

Cuando no existe el término independiente, es decir, el término c, la ecuación tiene la forma:

estilo tamaño 14px negrita ax elevado a negrita 2 negrita más negrita bx negrita igual negrita 0 fin estilo

Ejemplos:

estilo tamaño 14px negrita 48 negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 8 negrita x negrita igual negrita 0 negrita espacio negrita flecha doble derecha negrita a negrita igual negrita 48 negrita coma negrita espacio negrita b negrita igual negrita 8 fin estilo

estilo tamaño 14px negrita menos negrita 5 negrita x elevado a negrita 2 negrita igual negrita menos negrita 5 negrita x negrita espacio negrita flecha doble derecha negrita a negrita igual negrita menos negrita 5 negrita coma negrita espacio negrita b negrita igual negrita 5 fin estilo

Raíces de una ecuación cuadrática

Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces que son los valores que debe tomar la incógnita, o sea x, para que la igualdad ax2+bx+c = 0 sea verdadera. Resolver una ecuación de segundo grado es buscar las raíces de la ecuación.

Las raíces de la ecuación cuadrática se calculan por la fórmula general:

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita coma negrita 2 fin subíndice negrita igual fracción numerador negrita menos negrita b negrita más-menos raíz cuadrada de negrita b elevado a negrita 2 negrita menos negrita 4 negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita c negrita paréntesis derecho fin raíz entre denominador negrita 2 negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho fin fracción fin estilo

La expresión dentro de la raíz cuadrada b2 - 4(a)(c) se llama discriminante de la ecuación cuadrática. Obsérvese que delante de la raíz de la discriminante está el signo ± (más/menos). Esto significa que, para hallar el valor de x, en un caso sumamos el valor de la discriminante, y, en otro caso, restamos. A esto nos referimos cuando decimos que hay dos raíces en la ecuación de segundo grado.

Cómo resolver ecuaciones cuadráticas paso a paso

Para resolver una ecuación de segundo grado usando la fórmula general, vamos a proceder de la siguiente manera:

  1. Identificamos los coeficientes a, b y c.
  2. Los sustituimos en la fórmula general.
  3. Calculamos x1 sumando el discriminante, y x2, restando el discriminante.

ejercicios de ecuaciones cuadráticas y sus soluciones:

Ejercicio 1: Resolver la ecuación cuadrática 2x^2 - 5x + 2 = 0.

Solución: a = 2, b = -5, c = 2 x = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4(2)(2))) / (2(2)) x = (5 ± √(25 - 16)) / 4 x = (5 ± √9) / 4 x = (5 ± 3) / 4

Ejercicio 2: Resolver la ecuación cuadrática 3x^2 + 6x + 3 = 0.

Solución: a = 3, b = 6, c = 3 x = (-6 ± √(6^2 - 4(3)(3))) / (2(3)) x = (-6 ± √(36 - 36)) / 6 x = (-6 ± √0) / 6

Como el discriminante es igual a cero, solo hay una solución: x = -6 / 6 x = -1

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