SISTEMA DE ECUACIONES

SISTEMA DE ECUACIONES 

Es un conjunto de dos o más ecuaciones que involucran dos o más variables y están relacionadas entre sí.

El objetivo al resolver un sistema de ecuaciones es encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones del sistema de manera simultánea. Los sistemas de ecuaciones se utilizan comúnmente para modelar situaciones en las que hay múltiples restricciones o condiciones que deben cumplirse.

Los sistemas de ecuaciones pueden tener diferentes soluciones, dependiendo de la naturaleza de las ecuaciones y de cómo se interrelacionen.

Para resolver un sistema de N ecuaciones con N incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos:

Sustitución 
Igualación 
Reducción

 

Método de sustitución:

Sea el sistema

Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. despejemos la y en la primera ecuación suponiendo como conocido el valor de x

y  =  11 - 3x

Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado, es decir donde se encuentre una "y" colocaremos "(11 – 3x)".

5x - (11-3x)  =  13

Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita; la cual resolvemos normalmente

5x – 11 + 3y  =  13
5x + 3x  =  13 + 11
8x  =  24
x  =  3 

Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de "y" que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema

y  =  11 - 3x
y  =  11 - 9
y  =  2

Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será x=3 e y=2

Método de igualación:

Sea el sistema:  

Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita

Igualamos ambas ecuaciones

11 - 3x  =  -13 + 5x
8x  =  24 
x  =  3

Este valor de x lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones de y

y  =  11 - 9
y  =  2

Método de reducción:

Sea el sistema

Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema, la intención es eliminar una variable por lo que si no se puede eliminar ninguna así no más se multiplicaran las ecuaciones por números que igualen alguno de los términos, para que se elimine uno:

Para este ejemplo eliminamos "y"

 

y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos

y = 2

Este método sirve para cualquier cantidad de ecuaciones con la única condición que el numero de variables desconocidas no sea mayor a la cantidad de ecuaciones.

Ejercicio 1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución:

Sistema:

1. 2x + y = 7
2. 3x - 2y = 4

Solución: Puedes resolver este sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución. A partir de la primera ecuación, despeja "y" en términos de "x":

1. y = 7 - 2x

2. Luego, sustituye esta expresión en la segunda ecuación:

   2. 3x - 2(7 - 2x) = 4

   Resuelve esta ecuación para encontrar el valor de "x", y luego sustituye ese valor en la primera ecuación para encontrar el valor de "y".

   Ejercicio 2: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de eliminación:

   Sistema:

   1. 3x + 2y = 11
   2. 2x - 3y = 5

   Solución: Para resolver este sistema de ecuaciones utilizando el método de eliminación, multiplica ambas ecuaciones por números que hagan que los coeficientes de una de las variables se cancelen cuando se sumen o resten. En este caso, puedes multiplicar la primera ecuación por 3 y la segunda ecuación por 2 para que los coeficientes de "x" se cancelen cuando sumes las ecuaciones.

   1. 3(3x + 2y) = 3(11)
   2. 2(2x - 3y) = 2(5)

   Esto da como resultado el siguiente sistema equivalente:

   1. 9x + 6y = 33
   2. 4x - 6y = 10

   Ahora, suma estas dos ecuaciones para eliminar "y":

   3. (9x + 6y) + (4x - 6y) = 33 + 10
   Resuelve para "x", y luego sustituye ese valor en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de "y".